BoSy blog. Droga donikąd też prowadzi do przodu.

Liczby pierwsze na spirali Fibonacciego.

 

Kolejny mój wpis w związku z zabawą liczbami.

Tym razem postanowiłem połączyć dwa ciekawe zbiory.

Nie widziałem podobnego rysynku w sieci więc uznałem, że przeprowadzę eksperyment i sam wyrysuję programowo spiralę, a następnie naniosę liczby Fibonacciego oraz liczby Pierwsze.
Gdyby była już taka spirala komuś znana to całkiem dobrze się składa, bo to co ja zauważam może jest wiadome, ale nie było dla mnie jeszcze przed eksperymentem.

Otóż liczby pierwsze na spirali występują w bardzo losowy sposób, to jest pewne.
Przybywa ich pomiedzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego, to jest pewne.

Z obserwacji wynika też coś takiego, że:
Suma liczb pierwszych na spirali pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego podzielona przez ilość liczb pierwszych, a następnie podzielona przez większą liczbę Fibonacciego daje w przybliżeniu połowę Złotej liczby Phi.

Innymi słowy: suma liczb pierwszych wskazana na spirali w polu każdego kwadratu podzielona przez (ilość liczb pierwszych pomnożoną przez wyższą liczbę Fibonacciego zawsze w wyniku daje nam przybliżenie połowy Złotej liczby.


Wyjątkiem jest początek spirali, gdzie wartości są równe 1.
Czyli zbiór jest w pewnym sensie związany ze złotą spiralą w ten sposób. Czy może to zbyt naciągany wniosek?

Proszę zarkąć na obrazki okna aplikacji, w której rysowałem spiralę i nanosiłem liczby pierwsze.
Zrobiłem kilka zrzutów. Licencja CC.

 

undefined

 

undefined

undefined

Na rysunkach na biało liczby pierwsze. Mamy dane o tych liczbach.
Wyjaśnienie:

QTY - ilość liczb pierwszych pomiędzy kolejnymi wyrazami wyrazami ciągu Fibonacciego, czyli w polu danego kwadratu.

SUM - suma liczb pierwszych pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu...

AVG - średnia obliczona poprzez podział sumy przez ilość, czyli SUM/QTY.

SUM/F - suma liczb pierwszych podzielona przez liczbę Fibonacciego.

AVG/F - pokazuje średnią liczb pierwszych w danym polu kwadratu, podzieloną przez liczbę Fibonacciego, to jest zawsze przybliżenie równe połowie Złotej liczby PHI/2 ≈ 0.80... z wyjątkiem trzech pierwszych liczb (2,3,5), które są równe liczbom Fibonacciego, następnie dobre przybliżenie raczej rośnie.

Gdyby ktoś był zainteresowany zabawą z aplikacją, która rysuje ta spiralę, to mogę udostępnić, proszę śmiało pisać w tej sprawie.. Jest to miniaturowy programik napisany w języku C z wykorzystaniem starej biblioteki Allegro w wersji 4.2, ale trochę wymagający pod względem mocy sprzętowej. Może działać zarówno na Windows jak i Linux.

To na razie tyle. Dzięki za dotrwanie do końca i pozdrawiam.

 

 

Populacja świata i liczby Fibonacciego. (World population and Fibonacci numbers.)

Witam.

Poniższy wykres funkcji wykładniczej (na diagramie napisałem logarytmicznej) przedstawia wzrost populacji ludzi na świecie z uwzględnieniem kolejnych liczb ciągu Fibonacciego (Złotej liczby "Phi"). Kolejne liczby na osi pionowej zaczynają się od 41-szej liczby ciągu i kończą na 50-tej. Na wykresie, ta liczba określająca wielkość populacji, której wartość w danym roku jest równa liczbie z ciągu Fibonacciego, jest zaznaczona punktem w kolorze czerwonym. Oś pozioma przedstawia upływ czasu od roku 1 AD. (Naszej Ery).

 

 

undefined

Z kolei na tym screenie jest wielkość populacji liczona od około 200 000 BC. Pionowo w kolumnach są wpisane następujące dane:Pierwsza liczba od lewej to liczba porządkowa konkretnej liczby ciągu Fibonacciego, druga liczba to wartość liczby Fibonacciego, później sa nieistotne dla istoty sprawy obliczenia, następnie jest data, a ostatnia kolumna to upływ czasu.

Lp.      Populacja/Licza Fibonacciego                              Rok.                         Zmiana.

undefined

 

Podjąłęm próbę wyznaczenai wzoru w celu obliczenia wielkości polulacji dla danego roku, prezentowanego na osi x tego wykresu typu log-lin.

Niestety do tej pory udało mi się wyznaczyć wzór, który jest wprawdzie poprawny jednak nie znając wartości jednej zmiennej nie będziemy mogli obliczyć wielkości populacji dla danego roku. Ta zmienna to r - wskaźnik wzrostu populacji.

Ten wzór ma postać:

P=P0 * e ^( r*delta t)

P - Poszukiwana wielkośc populacji w danym okresie.

P0 - Początkowa wielkość populacji, w znanym nam okresie.

r - wskaźnik wzrostu populacji (nieznany dla niektórych okresów).

delta t - czas jaki upłynął pomiędzy okresem w którym populacja miała wartość początkową P0 i poszukiwaną P.

e - liczba Eulera = 2.71828 (w przybliżeniu)

 

Posługując się kolejnymi wartościami ciągu Fibonacciego na osi y, wiemy też że:

P(n+1) = P(n) * Phi

oraz:

P(n-1) = P(n) * phi

 

P (n) = wielkość populacji według liczby porządkowej n ciągu Fibonacciego na osi y.

Phi = 1.618 , a phi 0.618 ( w przybliżeniu).

Ale dalej nie potrafię obliczyć wskaźnika r dla wzoru wyrysowanej funkcji. Może ktoś wie jak to rozwiązać? Prosze dać znać na maila.

To na razie tyle. Pozdrawiam.

 

 

 

 

Home